Analisi dinamica

I modi di vibrare della struttura sono calcolati mediante soluzione dell’equazione matriciale:

[K-λM]ψ = 0          (4)

Dove:
ψ = autovettore
λ = autovalore
M = matrice delle masse
K = matrice delle rigidezze

Gli spostamenti dell’i-esimo modo hanno la forma:

ui(t) = ψi pi sin(ωi t + φi)

con:
ω2= λ
φ = fase
p = ampiezza (scalare)
t = tempo (variabile indipendente)

La (4.2) è risolta con il metodo di interazione nel sottospazio abbinato al metodo di Jacobi generalizzato[2].
Per la costruzione della matrice M le masse sono considerate concentrate nei nodi e sono trascurate le masse rotazionali.

Calcolo sollecitazioni modali [3]

Per ogni autovalore λi esistono infiniti autovettori ψi proporzionali tra loro.

Nel seguito ci si riferisce alla forma ψi ortonormalizzata ad 1 con M, ovvero che verifica la:

ψiT M ψi = 1

La matrice diagonale M può essere scritta come:

M = Mx + My + Mz

dove: Mx [ My, Mz ] è la matrice delle sole masse traslazionali lungo x [lungo y, lungo z]

Si definisce il vettore

mx = Mxμ

dove μ è vettore con tutti elementi 1 e lunghezza pari alla dimensione della matrice M

Si definisce fattore di partecipazione modale lo scalare:

Lix = ψiT mx          (5)

Si può definire lo scalare:

pix = Sx(Ti, ξ) Lix / λi          (6)

dove:
Ti = 2*π/ ωi = periodo del modo i
La funzione Sx(T, ξ) è lo spettro di progetto in accelerazione del sisma x. (§ 3.2.3.2 NTC08)

Il vettore degli spostamenti massimi dovuti all’eccitazione del modo i da parte del sisma x è calcolato con:

uix max = pix ψi         (7)

Nei tabulati di Jasp, per il modo i-esimo, sono riportate:
•  le sollecitazioni calcolate a partire da spostamenti pari a ψi (espresso in metri)
•  la tabella dei coefficienti pix denominati “coefficienti di amplificazione modali”.

La quota di massa partecipante del modo i al sisma x è lo scalare:

six = Lix2 / (μT mx)          (8)

dove: μT mx è la somma delle masse sismiche per il sisma x.

Per la combinazione degli effetti riguardanti i singoli modi si utilizza la combinazione quadratica completa come indicato nelle espressioni (7.3.3) e (7.3.4) delle NTC08.

Gli effetti dell'eccentricità accidentale del centro di massa sono calcolati mediante l'analisi statica come indicato nel § 7.3.3.1 delle NTC08.

[2]: Bathe-Wilson, "Numerical Methods in Finite Element Analysis", 1976, §12.3 – Prentice-Hall
[3]: Paolo Rugarli, "Analisi modale ragionata", 2005, §9.1, - EPC Libri